这是一道历史悠久，又很困难的面试题。
网上有不少对这道题的讨论和答案，但几乎都没有准确的推理过程。本文用尽量简单明了的语言给出详细的推理过程，但建议在参阅下面的答案前，先自行认真思考。 分析与解答由于推断的逻辑很复杂，所以必须用约定的语言来描述。本文所用的推断名称格式如下： “1甲n”表示若甲拿到的两数之积为n，第1次发言时做的推断。 “1乙m”表示若乙拿到的两数之和为m，根据甲的第1次发言，乙做出的推断。 “2甲n”表示若甲拿到的两数之积为n，根据乙的第1次发言，甲做出的推断。 “2乙m”表示若乙拿到的两数之和为m，根据甲的第2次发言，乙做出的推断。 前提是甲乙都是天才数学家，因此一定会先假设两个数，然后将自己做为对方进行推断。如果可以推断出，则一定不会失误。 推断的书写格式为： 推断名：可能拆分1，结论1；可能拆分2，结论2；…… 推断名为红色表示可知推断，即可推断出确切的两个数；绿色表示未知推断，即有多种可能。 一、甲说：“我不知道”下面列出甲拿到的积为2到12的全部情况。(A)若两数之积只有一种拆分的情况下甲会做出已知推断，与甲第一次未知的事实不符；(B)若至少有两种可能，则甲做出未知推断。 1甲2：1*2，可知1和2。(A) 1甲3：1*3，可知1和3。(A) 1甲4：1*4，可知1和4。(A) 1甲5：1*5，可知1和5。(A) 1甲6：1*6，2*3。(B) 1甲7：1*7，可知1和7。(A) 1甲8：1*8，2*4。(B) 1甲9：1*9，可知1和9。(A) 1甲10：1*10，2*5。(B) 1甲11：1*11，可知1和11。(A) 1甲12：1*12，2*6，3*4。(B) 以下略，易证得两数之积为素数或素数的平方时为已知推断，否则为未知推断。 二、乙说：“我也不知道”1. 对于乙，若两数之和只有一种拆分可能，则乙可做出可知推断，与乙第一次未知的事实不符。 2. 若至少有两种拆分可能，则乙可在假设某一种拆分的情况下，算得两数之积，然后假设自己为甲做出推断，并得到相应的结论：(A)若在假设的某一种拆分的情况下甲会做出已知推断，则该情况与甲第一次未知的事实矛盾；(B)若有且只有一种拆分的情况下甲会做出未知推断，则乙可做出已知推断（就是这种拆分），与乙第一次未知的事实矛盾；(C)若有至少两种拆分的情况下甲都会做出未知推断，则乙做出未知推断，符合乙第一次未知的事实。 1乙3：1+2，可知1和2。(A) 1乙4：1+3，可知1和3。(A) 1乙5：1+4，则1甲4；2+3，则1甲6。(B) 1乙6：1+5，则1甲5；2+4，则1甲8。(B) 1乙7：1+6，则1甲6；2+5，则1甲10；3+4，则1甲12。(C) 1乙8：1+7，则1甲7；2+6，则1甲12；3+5，则1甲15。(C) 1乙9：1+8，则1甲8；2+7，则1甲14；3+6，则1甲18。(C) 1乙10：1+9，则1甲9；2+8，则1甲16；3+7，则1甲21；4+6，则1甲24。(C) 以下略，易证得皆为未知推断。 三、甲说：“那我知道了”对于甲，在排除第一次的已知推断后，在剩下的推断中两数之积必有两个或以上的拆分可能。那么甲可在假设某一种拆分的情况下，算得两数之和，然后假设自己为乙做出推断，并得到相应的结论：(A)若至少有两种拆分的情况下乙都会做出未知推断，则甲只能做出未知推断，与甲这一次已知的事实矛盾；(B)若有一种拆分的情况下乙会做出未知推断，符合乙第一次未知的事实，则甲可做出已知推断，符合甲这一次已知的事实。 2甲6：1*6，则1乙7；2*3，则1乙5。(B) 2甲8：1*8，则1乙9；2*4，则1乙6。(B) 2甲10：1*10，则1乙11；2*5，则1乙7。(A) 2甲12：1*12，则1乙12； 2*6，则1乙8；3*4，则1乙7。(A) 以下略，易证得皆为未知推断。 四、乙说：“那我也知道了”对于乙，在排除上次的已知推断后，在剩下的推断中两数之和必有两个或以上的拆分可能。那么乙可在假设某一种拆分的情况下，算得两数之积，然后假设自己为甲做出推断，并得到相应的结论：(A)若假设的所有拆分情况下甲都会在第二次做出未知推断，则该情况与甲第二次已知的事实矛盾；(B)若有一种拆分的情况下甲会在第二次做出已知推断，符合甲第二次已知的事实，则乙可做出已知推断，符合乙第二次已知的事实。 2乙7：1+6，则2甲6；2+5，则2甲10；3+4，则2甲12。(B) 2乙8：1+7，则2甲7；2+6，则2甲12；3+5，则2甲15。(A) 2乙9：1+8，则2甲8；2+7，则2甲15；3+6，则2甲18；4+5，则2甲20。(B) 2乙10：1+9，则2甲9；2+8，则2甲16；3+7，则2甲21；4+6，则2甲24。(A) 蓝色标注的情况早在第一次推断就被排除，不予考虑。以下略，易证皆为未知推断。 结论：当两数为1和6时或1和8时，甲乙各自的两次推断结论均满足题目所描述的事实。 最后留一个练习：如果两个数可以相同，那这道题是否有唯一解？如果有，解是什么？ |
